Aljabar linear

                                                             KATA PENGANTAR

            Alhamdulillah, hanya kepada Allah kami bersyukur karena atas limpahan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul SUB RUANG dan kepada pembaca atau teman-teman mahasiswa, penulis harapkan semoga makalah ini dapat membantu memberikan pemahaman awal, menuju ke pemahaman yang lebih baik.

            Tak lupa penulis ucapkan banyak terimah kasih kepada Ibu Dosen, yang telah banyak memberikan  motivasi positif kepada kami sehingga dengan keterbatasan pemahaman dan reverensi penulis masih dapat menyusun makalah ini.

            penulis menyadari makalah yang penulis susun ini masih jauh dari yang ibu harapkan, Insya Allah di masa yang akan datang akan jauh lebih baik dari yang ini, sehingga segala macam masukan dan kritikan sangat diharapkan demi kesempurnaan di masa yang akan datang.

            Semoga dapat memberikan manfaat walaupun sedikit, dan semoga Allah SWT melimpahkan kasih sayang-Nya kepada kita semua. Amin

                                                                                                Ternate, 04 Juni 2012

BAB I

PENDAHULUAN

            Himpunan bagian yang tidak konsong dari suatu ruang vector mungkin merupakan ruang vector, mungkin juga bukan ruang vector. Himpunan bagian yang merupkan ruang vector dijelaskan bahwa.

            Misalkan W merupakan ruang bagian dari vector V, maka semua aksioma ruang vector di penuhi oleh W. khusus aksioma 1 dan 6 yaitu :

1.      untuk setiap u, v,  dalam V, u + v  dalam V.

6.   untuk setiap skalar k dan setiap u dalam V, ku dalam V.

Jadi untuk setiap u, v dalam W, u + v dalam W, dan untuk setiap skalar k dan untuk setiap u dalam W, ku dalam W. ini berarti aksioma 1 dan 6 dipenuhi oleh W. selanjutnya W juga memenuhi 8 aksioma lainnya. Aksioma 2, 3, 7, 8, 9, dan 10 jelas di penuhi oleh W, Karena vektor-vektor dalam W terletak dalam V.

Ambil sembarang  u dalam W, k = 0 dan k = 1, maka 0.u = 0 dalam W dan -1.u = -u dalam W. jadi W adalah ruang bagian dari ruang vector V.

PEMBAHASAN

A.    Subruang

Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan sub ruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.  

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah sub ruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku

1)      Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W

2)      Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, ku berada di W

Kondisi-kondisi (1) dan (2) sering kita jelaskan dengan menyatakan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan tertutup di bawah perkalian skalar. Bukti jika W adalah subruang dari V, maka semua aksioma ruang vektor dipenuhi; khususnya Aksioma 1 dan Aksioma 6 berlaku. Tetapi dalam hal ini persis merupakan kondisi (1) dan kondisi (2).

                  U+V      W                                                                        W

   U        V                                                                         U     KU                            

                                                                                                                                                                                                                                                                                 

a.       W tertutup terhadap penjumlahan    

b.      W tertutup terhadap perkalian skalar                                                                                        

Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua subruang. V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0} yang terdiri dari  vektor nol saja pada V yang merupakan sebuah subruang yang kitanamakan subruang nol (zero subspace).

Contoh :

Misalkan W sebarang bidang yang melalui titik asal dan misalkan u serta V sebarang vektor pada W. maka u + v harus terletak pada W karena u + v adalah diagonal jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v (gambar 1) dan k u harus terletak pada W untuk sebarang skalar k karena ku terletak pada garis yang melalui u. jadi W adalah subruang dari R³.

               U……V+U        

 

Contoh

Perlihatkan bahwa himpunan W dari semua matriks 2 x 2 yang mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya adalah subruang dari ruang vektor M₂₂ dari semua matriks 2 x 2

Pemecahan.

Adalah seberang dua matriks pada W dan K adalah sebarang skalar. Maka

Oleh karena kA dan A + B mempunyai bilangan nol pada diagonal utama, maka kA dan A + B terletak pada W. Jadi, W  adalah subruang dari M₂₂.

Contoh

Vektor-vektor i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) W himpunan semua vektor berada (a,1,1) merentang R³ karena setiap vektor (a, b, c) pada R³ dapat kita tuliskan sebagai :

(a, b, c) = ai + bj + ck

Teorema jika v1, v2, ……….vr adalah vektor–vektor pada ruang vektor V, maka:

(1)      Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2, …….vr adalah subruang V

(2)      W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2, …….vr, adalah arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2,…….,vr harus mengandung W

Kombinasi linear vi, v2, ……..vr, maka kita dapatkan subruang V. subruang tersebut kita namakan ruang linear terentang oleh {v1, v2, …….vr}, atau dengan lebih sederhana kita namakan ruang terentang oleh {v1, v2,…….vr}

Bukti

(a)       Untuk memperlihatkan bahwa W adalah subruang V, kita harus membuktikan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan perkalian skalar. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka

u = c₁v₁ + c₂v₂ + …………… + c_rv_r

dimana c1, c2, …….cr, k1, k2,…………kr adalah skalar. Maka,

u + v  = (c₁k₁)v₁ + (c₂ + k₂)v₂ + …………… + (c_r+k_r)v_r

dan, untuk sebarang skalar k,

ku = (kc₁) v₁ + (kc₂) v₂ + ………..+ (kc_r) v_r 

jadi u + v dan ku adalah kombinasi-kombinasi linear v₁,  v₂, ……… v_r, dan sebagai konsekuensinya maka u + v dan ku terletak di W sehingga W tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar.

(b)      Setiap vektor vi adalah kombinasi-kombinasi v1, v2, ……..vr, karenanya dapat kita tulis

vi = 0v₁+0v₂ + ………..+ 1v_i + …………..0v_r 

oleh karena itu, subruang w mengandung setiap vektor v1, v2, …….vr misalkan W¹ adalah sebarang subruang lain yang mengandung v1, v2, …….vr. karena W^-1 tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar, maka W^-1 harus mengundang semua kombinasi linear.

c₁v₁  + c₂v₂  dari v₁,v₂……,v_r

jadi, W¹ mengandung setiap vektor W.

c.          U = (a,1,1)                  KU = K (a,1,1)      bukan sub ruang

V = (a₂,1,1)                        = Ka,K,K   

BAB II

PENUTUP

A.    KESIMPULAN

•      Sub ruang vektor adalah sebenarnya ruang vektor juga, namun dengan syarat-syarat khusus

•      Jika W adalah sekumpulan dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W disebut sebagai sub ruang V, jika dan hanya jika kedua kondisi di bawah ini berlaku :

1. Jika u dan v adalah vektor di W maka u+v juga ada di W
2. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang vektor di W, maka ku juga ada di W

B.     SARAN

Dari makalah yang penulis susun ini masih jauh dari apa yang diharapkan, oleh karenanya segala bentuk masukan dan kritikan yang sifatnya membangun akan penulis jadikan sebagai satu pembelajaran di masa yang akan datang.