Aljabar Linear

RUANG VEKTOR UMUM

defenisi. Misalkan V sembarang himpunan benda yang dua operasinya kita defenisikan, yaitu penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang menggunakan elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v , kemudian dengan perkalian skalar dapat kita aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V  sebuah ruang vektor (vector space) dan benda-benda pada V kita namakan vektor :

1.      Jika u + v adalah benda-benda pada V, maka u + v berada di V.

2.      U + V = V + U

3.       U + ( V + W ) = ( U + V ) + W

4.      Ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V.

5.      Untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u dan V yang kita namakan negatif u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0.

6.      jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang di V, maka ku berada di V.

7.      k (u + v ) = ku + kv

8.      (k + l)u = ku + lu

9.      k(lu) = (kl)(u)

10.  1u = u

Kita kini menggeneralisasi konsep sebuah vektor  pada bilangan pada bagian ini. Kita akan menyatakan sehimpunan aksioma yang jika dipenuhi oleh sekelompok benda, benda tersebut akan kita namakan Vektor. Aksioma-aksioma tersebut akan dipilih dengan mengabstraksikan sifat-sifat yang paling penting dari vektor-vektor pada Rⁿ, sebagai konsekuensinya, vektor-vektor pada Rⁿ secara otomatis akan memenuhi aksioma-aksioma ini. Jadi, konsep baru kita mengenai sebuah vektor akan mencakup vektor kita yang lama dan juga akan mencakup banyak macam vektor baru.

Vektor 0 pada aksioma 4 kita namakan vektor nol untuk V.

Untuk beberapa penerapan, kita perlu meninjau ruang vektor dimana skalar adalah bilangan kompleks dan bukan bilangan riil. Ruangan vektor seperti itu kita namakan ruang vektor kompleks, dan bilamana skalarnya harus bilangan riil kita namakan ruang vektor riil.

Defenisi ruang vektor tidaklah di tetapkan baik jenis sifat vektor maupun operasinya. Sebarang benda yang bagaimana pun tidak berperan serta sebagai vektor ; apa diharuskan adalah bahwa aksioma ruang vektor terpenuhi contoh-contoh berikut akan memberikan suatu gagasan mengenai kemungkinan keragaman ruang vektor tersebut.

Contoh 1 :

Himpunan V = Rⁿ dengan operasi baku mengenai penambahan dan perkalian skalar yang kita defenisikan pada bagian sebelumnya adalah ruang vektor. Aksioma 1 dan 6 kita peroleh dari defenisi operasi baku pada Rⁿ, aksioma selebihnya kita peroleh dari teorema 1.

Contoh 2 :

Misalkan V adalah sebarang bidang yang melalui titik asal pada R³. Kita akan perlihatkan bahwa titik-titik V yang membentuk ruang vektor dibawah penambahan baku serta operasi perkalian skalar untuk vektor-vektor pada R³.

            Dari contoh 1, kita ketahui bahwa R³ itu sendiri adalah ruang vektor yang bergantung pada operasi-operasi ini. Jadi, aksioma 2,3,7,8,9, dan 10 berlaku untuk semua titik pada bidang V. kita hanya perlu memperlihatkan bahwa aksioma 1,4,5, dan 6 terpenuhi.

            Karena bidang  V lewat melalui titik asal, maka bidang tersebut mempunyai persamaan yang berbentuk.

Ax + by + cz = 0

Jadi, jika u = (u₁, u₂, u₃ ) dan v = (v₁, v₂, v₃ ) adalah titik pada V, maka au₁ + bu₂ +cu₃ =  0 dan av₁ + bv₂ + cv₃ = 0. Ini membuktikan bahwa persamaan-persamaan ini maka akan memberikan

a ( u₁ + v₁ ) + b ( a₂ + v₂ ) + c ( a₃ + v₃ ) = 0

kesamaan ini menekankan kepada kita bahwa koordinat titik u + v = ( u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃ ) memenuhi. Jadi u + v terletak pada bidang V. ini membuktikan bahwa aksioma 1 terpenuhi. Dengan mengalikan au₁ + bu₂ + cu₃ = 0 dengan -1 maka akan memberikan.

a( - u₁ ) + b( - u₂ ) + c( - u₃ ) = 0

jadi,  - u = (- u₁, - u₂, - u₃ ) terletak pada V. ini menghasilkan aksioma 5.

            Contoh 3.

Titik-titik pada sebuah garis V yang lewat melalui titik asal di R³ membentuk ruang vektor dibawah operasi penambahan baku dan operasi perkalian skalar untuk vektor-vektor pada R³.

            Uraian serupa di uraian yang digunakan pada contoh 2 dan didasarkan atas kenyataan bahwa  titik-titik V memenuhi persamaan-persamaan parametrik yang berbentuk

x = at

y = bt

z = ct

Contoh 4.

Himpunan V semua matriks m x n dengan entri-entri riil, bersama-sama dengan operasi penambahan matriks dan operasi perkalian skalar, adalah ruang vektor. Matriks nol m x n adalah vektor 0, dan jika u adalah matriks A yang berukuran m x n, maka matriks – A­ adalah vektor – u dalam aksioma 5. Kebanyakan aksioma selebihnya memenuhi karena teorema. Kita akan menyatakan ruang vektor ini dengan simbol M _{m n}.

Contoh 5.

Misalkan V adalah himpunan semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan pada seluruh garis ril. Jika f = ƒ(x) dan g = g(x) adalah dua fungsi seperti itu dan k adalah sebarang bilangan riil, maka definisikanlah jumlah f + g dan kelipatan skalar k f dengan

(f + g)(x) =  ƒ(x) + g(x)

(kf) (x) = kƒ (x)

Dengan kata lain, nilai fungsi f + g di x kita peroleh dengan menambahkan bersama-sama nilai f dan nilai g di x ( Gambar 4.2a). demikian juga, nilai kf di x adalah k kali nilai f di x ( Gambar 4.2b). Himpunan V  adalah ruang vektor dibawah operasi-operasi ini.

            Vektor nol di ruang ini adalah fungsi konstanta nol, yakni fungsi yang di grafiknya adalah garis horisontal yang melalui titik asal.  

Contoh 6.

Misalkan V adalah himpunan semua titik (x,y) pada R² yang terletak dalam kuadran pertama, yakni titik-titik, sehingga x ≥ 0 dan y ≥ 0. Himpunan V gagal sebagai ruang vektor dibawah operasi-operasi baku pada R², karena aksioma 5 dan aksioma 6 tidak memenuhi.

Untuk melihat hal ini perhatikanlah bahwa v = ( 1,1 ) terletak pada V, tetapi ( - 1 ) v = -v = ( -1, -1 ) tidak terletak pada V ( Gambar 4.3 ).

 

Contoh 7.

Misalkan V terdiri dari sebuah benda tunggal, yang kita nyatakan dengan 0, dan definisikanlah

0 + 0 = 0

K0 = 0

Untuk semua skalar k. hal ini mudah bagi anda untuk memeriksa apakah semua aksioma ruang vektor terpenuhi. Kita namakan ini ruang vektor nol ( zero vector space ).

            Sewaktu kita melanjutkan, kita akan menambahkan lebih banyak lagi contoh ruang vektor bagi daftar kita. Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah teorema yang memberikan daftar berguna dari sifat-sifat vektor.

	Teorema 3. Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k sebuah skalar, maka : (a)    0u = 0 (b)   K0 = 0 (c)    ( -1)u = - u (d)   Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

 

Kita akan membuktikan bagian (a) dan bagian (c) yaitu sebagai berikut :

(a)    Kita dapat menuliskan

(b)    

Menurut Aksioma 5 maka vektor 0u adalah bilangan negatif, yakni -0u, dengan menambahkan bilangan negatif ini kepada kedua ruas diatas maka akan menghasilkan

[ 0u + 0u ] + ( -0u ) = 0u + ( -0u )

Atau

0u + [ 0u + ( - 0u )] = 0u + ( -0u )                                           Aksioma 3

Boleh juga

0u + 0 = 0                                            Aksioma 5

Atau bahkan

0u = 0                                                  Aksioma 4

(c)    Untuk memperlihatkan ( - 1 ) u  = - u, kita harus memperlihatkan bahwa u + ( - 1 ) u = 0. Untuk melihat ini, perhatikanlah bahwa

u + ( -1 ) u = 1u + ( -1 ) u                                            Aksioma 10

      = ( 1 + ( -1 ) u                                            Aksioma 8

      = 0u                                                           sifat bilangan

      = 0                                                 bilangan (a) di atas