Kisah Wortel, Telur, dan Kopi

Seorang anak mengeluh pada ayahnya mengenai kehidupannya dan menanyakan mengapa hidup ini terasa begitu berat baginya. Ia tidak tahu bagaimana menghadapinya dan hampir menyerah. Ia sudah lelah untuk berjuang. Sepertinya setiap kali satu masalah selesai, timbul masalah baru.

Ayahnya, seorang koki, membawanya ke dapur. Ia mengisi 3 panci dengan air dan menaruhnya di atas api.

Setelah air di panci-panci tersebut mendidih. Ia menaruh wortel di dalam panci pertama, telur di panci kedua dan ia menaruh kopi bubuk di panci terakhir. Ia membiarkannya mendidih tanpa berkata-kata. Si anak membungkam dan menunggu dengan tidak sabar, memikirkan apa yang sedang dikerjakan sang ayah. Setelah 20 menit, sang ayah mematikan api.

Ia menyisihkan wortel dan menaruhnya di mangkuk, mengangkat telur dan meletakkannya di mangkuk yang lain, dan menuangkan kopi di mangkuk lainnya.

Lalu ia bertanya kepada anaknya, “Apa yang kau lihat, nak?”"Wortel, telur, dan kopi” jawab si anak. Ayahnya mengajaknya mendekat dan memintanya merasakan wortel itu. Ia melakukannya dan merasakan bahwa wortel itu terasa lunak. Ayahnya lalu memintanya mengambil telur dan memecahkannya. Setelah membuang kulitnya, ia mendapati sebuah telur rebus yang mengeras.

Terakhir, ayahnya memintanya untuk mencicipi kopi. Ia tersenyum ketika mencicipi kopi dengan aromanya yang khas. Setelah itu, si anak bertanya, “Apa arti semua ini, Ayah?”

Ayahnya menerangkan bahwa ketiganya telah menghadapi ‘kesulitan’ yang sama, melalui proses perebusan, tetapi masing-masing menunjukkan reaksi yang berbeda.

Wortel sebelum direbus kuat, keras dan sukar dipatahkan. Tetapi setelah direbus, wortel menjadi lembut dan lunak. Telur sebelumnya mudah pecah. Cangkang tipisnya melindungi isinya yang berupa cairan. Tetapi setelah direbus, isinya menjadi keras. Bubuk kopi mengalami perubahan yang unik. Setelah berada di dalam rebusan air, bubuk kopi merubah air tersebut.

“Kamu termasuk yang mana?,” tanya ayahnya. “Ketika kesulitan mendatangimu, bagaimana kau menghadapinya? Apakah kamu wortel, telur atau kopi?” Bagaimana dengan kamu? Apakah kamu adalah wortel yang kelihatannya keras, tapi dengan adanya penderitaan dan kesulitan, kamu menyerah, menjadi lunak dan kehilangan kekuatanmu.”

“Apakah kamu adalah telur, yang awalnya memiliki hati lembut? Dengan jiwa yang dinamis, namun setelah adanya kematian, patah hati, perceraian atau pemecatan maka hatimu menjadi keras dan kaku. Dari luar kelihatan sama, tetapi apakah kamu menjadi pahit dan keras dengan jiwa dan hati yang kaku?.”

“Ataukah kamu adalah bubuk kopi? Bubuk kopi merubah air panas, sesuatu yang menimbulkan kesakitan, untuk mencapai rasanya yang maksimal pada suhu 100 derajat Celcius. Ketika air mencapai suhu terpanas, kopi terasa semakin nikmat.”

“Jika kamu seperti bubuk kopi, ketika keadaan menjadi semakin buruk, kamu akan menjadi semakin baik dan membuat keadaan di sekitarmu juga membaik.”

“Ada raksasa dalam setiap orang dan tidak ada sesuatupun yang mampu menahan raksasa itu kecuali raksasa itu menahan dirinya sendiri”

Cinta Seorang Anak

Seorang janda miskin Siu Lan mempunyai putri cantik berumur 7 tahun bernama Lie Mei. Kemiskinan yang melanda membuat Lie Mei harus membantu ibunya berjualan jajanan kering seperti kue dan roti dipasar, karena miskin itu pula Lie Mei tidak pernah sekali pun bermanja-manja kepada ibunya layaknya teman-teman disekitar rumahnya.

Musim dingin pun tiba dan ketika selesai bikin kue dan roti, Siu Lan melihat keranjang kuenya sudah rusak dan Siu Lan berpesan pada Lie Mei untuk nunggu dirumah karena ia akan membeli keranjang baru.

Setibanya Siu Lan pulang kerumah, ia tidak menemukan Lie Mei. Siu Lan langsung naik pitam dan sangat marah. “Benar-benar tidak tau diri, hidup susah tapi masih juga pergi main-main, padahal tadi sudah dipesan agar menunggu rumah.” Ucapnya.

Akhirnya Siu Lan pergi sendiri menjual kue dan roti. Sebagai hukumannya untuk Lie Mei, pintu rumahnya dikunci dari luar agar Lie Mei tidak dapat masuk. Putrinya mesti diberi pelajaran, pikirnya geram.

Sepulang dari jual kue Siu Lan menemukan Lie Mei, gadis kecil itu tergeletak didepan pintu. Siu Lan berlari memeluk Lie Mei yang membeku dan sudah tidak bernyawa. Jeritan Siu Lan memecah kebekuan salju saat itu. Ia menangis dan meraung-raung, tetapi Lie Mei sudah tetap tidak bergerak.

Siu Lan membopong Lie Mei masuk kerumah lalu mengguncang-guncang tubuh beku putri kecilnya sambil meneriakkan nama Lie Mei dengan harap putri kecilnya kembali sadar. Tiba-tiba sebuah bingkisan kecil jatuh dari tangan Lie Mei. Siu Lan mengambil bungkusan kecil itu dan membuka isinya.

Didalamnya adalah sebuah biskuit kecil yang dibungkus dengan kertas usang dan tulisan kecil yang ada dikertas dari tulisan Lie Mei yang berantakan tapi dapat dibaca, "Mama pasti lupa, ini hari istimewa bagi mama, aku membelikan biskuit kecil ini untuk hadiah, uangku tidak cukup untuk membeli biskuit yang besar… Mama selamat ulang tahun".

______________

Emosi adalah lidah bekerja lebih cepat dibandingkan pikiran dan hati. Penyesalan, selalu mengetuk hati ketika semuanya terjadi hingga kehilangan yang membuat tersadar dari tidur yang panjang.

Berpikir negative hanya akan membuat penyesalan itu datang.

Berpikirlah bijak sebelum bertindak.

Anak, suami, istri, mereka semua adalah rumahmu istanamu


Sumber : http://terimakasihibu.blogspot.com

Maafkan Ayah Anakku

Sebuah kisah yang harus kita ketahui bersama untuk dapat diperhatikan...

Ini ada bahan untuk bahan renungan bagi kita semua yang barangkali ada yang kelupaan pada kata yang satu ini, yaitu : MA'AF.

Jam sudah menunjukkan angka sebelas ketika aku duduk merebahkan diri di ruang tengah. Tentu saja istri dan anakku Aisyah sudah tertidur lelap. Tapi kenapa pintu kamar Aisyah masih terbuka? Aku tertegun saat berdiri di depan pintu kamar Aisyah. Aisyah tertidur di meja belajarnya ditangan kanannya masih memegang pinsil dan sepertinya ia menulis sesuatu di buku tulisnya dan ada segelas kopi.

"Tumben anak ini minum kopi," pikirku.

Kuangkat dia ketempat tidur. Kubereskan meja belajarnya yang berantakan, namun sebelum aku menutup buku tulisnya aku ingin melihat apa yang ditulis Aisyah. Aku tertegun sejenak saat membaca tulisan-tulisannya, ternyata semuanya cerita tentang diriku. Sampai akhirnya aku membaca 3 lembaran terakhir yang sangat menyentuh hatiku.

Di lembaran pertama dia menulis : "Hari ini ayah tidak jadi menemaniku ke toko buku, mungkin ayah tidak bisa meninggalkan pekerjaannya. Aku mengerti dengan kesibukanmu ayah."

Aku jadi ingat beberapa minggu yang lalu Aisyah mengajakku ke toko buku, aku ingat sekali gaya bicaranya yang polos.

"Ayah nanti sore ada kegiatan nggak sih," sapa Aisyah saat aku akan pergi kerja.

"Ada apa sayang," jawabku.

"Ayah mau nggak menemani Aisyah ke toko buku?"

"Kalau ayah nggak sibuk nanti sore akan ayah usahakan menemani kamu yach".

"Terima kasih, ayah," ucap Aisyah dengan wajah yang sangat gembira sambil mencium pipiku.

Aku tersenyum melihat tingkahnya yang lucu dan menggemaskan.

Di lembaran kedua dia menulis : "Hari ini ayah tidak jadi lagi menemaniku ke toko kaset, padahal aku ingin sekali mendengar lagunya Sulis dan memutarnya di kamarku saat aku sedang sendiri agar aku tidak merasa sunyi. Sebenarnya aku mau ngajak ibu tapi aku ingin sekali ditemani ayah. Tapi lagi-lagi ayah sibuk".

Dan aku ingat lagi kalau Aisyah memang pernah mengajakku menemaninya membeli kaset.

Kalau dia ingin mengajakku dia selalu bicara seperti ini, "Ayah nanti sore sibuk nggak atau Ayah nanti sore ada kegiatan?"

Bahasa yang sopan sekali menurutku sehingga aku tidak bisa untuk mengatakan tidak walaupun terkadang aku tidak bisa memenuhi keinginannya.

Di lembaran terakhir dia menulis : "Hari ini dan untuk kesekian kalinya ayah tidak bisa menemaniku. Tadi aku mengajak ayah ke pasar malam padahal ini kan hari terakhir ada pasar malam di komplekku dan aku udah janji sama Pak Mamat kalau aku akan membeli boneka yang ditawarkan tadi sore saat pak Mamat lewat depan rumahku, aku katakan pada pak Mamat kalau aku akan pergi bersama ayah ke pasar malam dan aku akan membeli boneka pak Mamat. Karena ayah masih belum pulang pasti pak Mamat sudah menjualnya. Pak Mamat maafkan Aisyah yah. Besok pagi akan Aisyah tunggu di depan rumah dan minta maaf pada pak Mamat kalau Aisyah tidak bisa pergi ke pasar malam. Kali ini Aisyah yang akan duluan meminta maaf, biasanya kan pak Mamat selalu minta maaf kalau sudah melihatku di depan rumah menanti majalah yang kupesan. Dia selalu bilang, 'maaf yah neng, pak Mamat terlambat'. Padahal menurutku pak Mamat nggak terlambat hanya aku yang terlalu cepat menunggunya. Begitu melihatku sudah menunggu dia mengayuh sepedanya lebih cepat lagi. Saat kutanya kenapa sih pak Mamat selalu minta maaf padahal pak Mamat kan nggak punya salah pada Aisyah. 'Iya neng, Pak Mamat tidak ingin mengecewakan neng Aisyah kemaren kan sudah bilang kalau pak Mamat nganterin pesanan neng Aisyah pagi-pagi sebelum neng pergi kesekolah. Coba kalau pak Mamat datangnya kesiangan pasti neng kecewa, pak Mamat nggak ingin neng, ngecewakan orang karena kekecewaan itu akan menimbulkan luka di hati. Dan susah neng untuk menyembuhkannya kecuali kita minta maaf dengan tulus pada orang yang telah kita kecewakan'. Aku jadi ingat sama ayah, ayah tidak pernah mengucapkan maaf padaku, atau mungkin karena ayah menganggapku masih kecil atau ah, aku tidak mau berprasangka buruk terhadap ayah. Walaupun sebenarnya aku sangat kecewa dengan ayah tapi aku tidak ingin menyimpan kekecewaan itu didalam hati. Bahkan hatiku selalu terbuka untuk kata maaf ayah".

Aku menangis membaca tulisan Aisyah, kudekati Aisyah di pembaringan sambil kupandangi wajahnya yang polos. Aisyah anakku sayang maafkan ayah, ternyata kau punya hati emas. Aku memang tidak pernah minta maaf pada Aisyah atas janji-janji yang tidak pernah kupenuhi padanya. Dan aku selalu menganggapnya dia sudah melupakannya begitu melihatnya dipagi hari wajahnya begitu cerah dan selalu tersenyum. Dan ternyata dia masih mengingatnya dalam tulisan-tulisannya. Ah, entah sudah berapa banyak goresan rasa kecewa yang ada dihatimu andai kau tidak memaafkan ayah. Aisyah, ayah akan menunggumu sampai terbangun untuk meminta maafmu.

---Untuk anakku tersayang Aisyah---

Renungan: Terkadang kita malu atau enggan hanya untuk sekedar mengatakan kata "maaf" dan membiarkannya menjadi goresan-goresan luka yang membekas di hati. Atau mungkin kita sering beranggapan bahwa mereka akan melupakannya setelah beberapa hari. Kalau seandainya anda juga pernah melakukan hal yang sama seperti saya, tidak ada kata terlambat untuk meminta maaf pada orang yang pernah anda kecewakan. Jangan malu untuk melakukan hal yang benar sekalipun itu anda lakukan untuk seorang bocah atau teman, karena mereka juga punya hati nurani. Dan seandainya mereka masih tersenyum padamu walaupun anda telah mengecewakan mereka anda harus bersyukur atas karunia itu. Semoga kita-kita semua memang tidak pernah lupa pada kata yang satu ini, 'MAAF". 

Kisah Seorang ibu bermata satu

Ibuku hanya memiliki satu mata. Aku membencinya…sungguh memalukan. Ia menjadi juru masak di sekolah, untuk membiayai keluarga. Suatu hari ketika aku masih SD, ibuku datang. Aku sangat malu. Mengapa ia lakukan ini? Aku memandangnya dengan penuh kebencian dan melarikan. Keesokan harinya di sekolah…

“Ibumu hanya punya satu mata?!?!”….eeeeee, jerit seorang temanku.

Aku berharap ibuku lenyap dari muka bumi. Ujarku pada ibu,

“Bu…. Mengapa Ibu tidak punya satu mata lainnya? Kalau Ibu hanya ingin membuatku ditertawakan, lebih baik Ibu mati saja!!!”

Ibuku tidak menyahut. Aku merasa agak tidak enak, tapi pada saat yang bersamaan, lega rasanya sudah mengungkapkan apa yang ingin sekali kukatakan selama ini… Mungkin karena Ibu tidak menghukumku, tapi aku tak berpikir sama sekali bahwa perasaannya sangat terluka karenaku.

Malam itu..
Aku terbangun dan pergi ke dapur untuk mengambil segelas air. Ibuku sedang menangis, tanpa suara, seakan-akan ia takut aku akan terbangun karenanya. I memandangnya sejenak, dan kemudian berlalu. Akibat perkataanku tadi, hatiku tertusuk. Walaupun begitu, aku membenci ibuku yang sedang menangis dengan satu matanya. Jadi aku berkata pada diriku sendiri bahwa aku akan tumbuh dewasa dan menjadi orang yang sukses.

Kemudian aku belajar dengan tekun. Kutinggalkan ibuku dan pergi ke Singapura untuk menuntut ilmu. Lalu aku pun menikah. Aku membeli rumah. Kemudian akupun memiliki anak. Kini aku hidup dengan bahagia sebagai seorang yang sukses. Aku menyukai tempat tinggalku karena tidak membuatku teringat akan ibuku. Kebahagian ini bertambah terus dan terus, ketika.. Apa?! Siapa ini?! Itu ibuku…Masih dengan satu matanya. Seakan-akan langit runtuh menimpaku. Bahkan anak-anakku berlari ketakutan, ngeri melihat mata Ibuku.

Kataku,

“Siapa kamu?! Aku tak kenal dirimu!!”

Untuk membuatnya lebih dramatis, aku berteriak padanya,

“Berani-beraninya kamu datang ke sini dan menakuti anak-anakku!!”

“KELUAR DARI SINI! SEKARANG!!”

Ibuku hanya menjawab perlahan, “Oh, maaf. Sepertinya saya salah alamat,” dan ia pun berlalu. Untung saja…ia tidak mengenaliku. Aku sungguh lega. Aku tak peduli lagi. Akupun menjadi sangat lega… Suatu hari, sepucuk surat undangan reuni sekolah tiba di rumahku di Singapura. Aku berbohong pada istriku bahwa aku ada urusan kantor. Akupun pergi ke sana. Setelah reuni, aku mampir ke gubuk tua, yang dulu aku sebut rumah.. Hanya ingin tahu saja.

Di sana, kutemukan ibuku tergeletak di lantai yang dingin. Namun aku tak meneteskan air mata sedikit pun. Ada selembar kertas di tangannya…. Sepucuk surat untukku.

“Anakku..

Kurasa hidupku sudah cukup panjang..

Dan..aku tidak akan pergi ke Singapura lagi..

Namun apakah berlebihan jika aku ingin kau menjengukku sesekali? Aku sangat merindukanmu. Dan aku sangat gembira ketika tahu kau akan datang ke reuni itu. Tapi kuputuskan aku tidak pergi ke sekolah.

Demi kau..

Dan aku minta maaf karena hanya membuatmu malu dengan satu mataku. Kau tahu, ketika kau masih sangat kecil, kau mengalami kecelakaan dan kehilangan satu matamu. Sebagai seorang ibu, aku tak tahan melihatmu tumbuh hanya dengan satu mata… Maka aku berikan mataku untukmu…. Aku sangat bangga padamu yang telah melihat seluruh dunia untukku, di tempatku, dengan mata itu. Aku tak pernah marah atas semua kelakuanmu. Ketika kau marah padaku.. Aku hanya membatin sendiri, “Itu karena ia mencintaiku…” Anakku… Oh, anakku…”

Pesan ini memiliki arti yang mendalam dan disebarkan agar orang ingat bahwa kebaikan yang mereka nikmati itu adalah karena kebaikan orang lain secara langsung maupun tak langsung. Berhentilah sejenak dan renungi hidup Anda! Bersyukurlah atas apa yang Anda miliki sekarang dibandingkan apa yang tidak dimiliki oleh jutaan orang lain! Luangkan waktu untuk mendoakan ibu Anda!





Sumber : http://uniqpost.com/12029/renungan-kisah-seorang-ibu-bermata-satu/

Anda Pemarah,,,,,,? Belajarlah Dari Paku

Suatu ketika, ada seorang anak laki-laki yang pemarah. Untuk mengurangi kebiasaan marah-marah tersebut, sang ayah memberikannya sekantong paku dan mengatakan pada anak itu untuk memakukan sebuah paku di pagar belakang setiap kali dia marah.

Hari pertama anak itu telah memakukan 30 paku ke pagar setiap kali dia marah… memang terkenal temperamen, sampai-sampai sehari saja sudah 30 kali marah-marah. Hari berganti hari jumlah yang ia pakukan berkurang. Sang anak merasakan capek dan lelah ketika harus memakukan paku-paku saat marah.

Akhirnya tibalah hari dimana anak tersebut merasa bisa mengendalikan amarahnya dan lebih bisa bersabar. Dia memberitahukan kabar baik ini kepada sang ayah dengan malu-malu.

Sang ayah pun tersenyum puas. Namun ia meminta anaknya untuk mencabut satu paku setiap hari ketika ia tidak marah. Hari-hari berlalu dan anak laki-lakinya telah berhasil mencabut semua paku.

Sang ayah lalu menuntun anaknya ke pagar.

“Kamu telah berhasil dengan baik anakku, tapi lihatlah lubang-lubang di pagar ini. Pagar ini tidak akan pernah bisa sama seperti sebelumnya. Ketika kamu mengatakan sesuatu dalam kemarahan. Kata-katamu akan meninggalkan bekas di hati orang lain seperti lubang-lubang ini.”

Semoga kita bisa belajar dari kisah ini. Ketika kita marah atau menyakiti orang lain, tidak peduli berapa kali kita meminta maaf. Luka itu akan tetap ada… Maka, tidak ada ruginya banyak-banyak berbuat baik dan berhenti marah-marah apalagi menyakiti orang lain.

Belajar dari bapak tua yang bijak

BELAJAR DARI BAPAK TUA YANG BIJAK

 
Suatu ketika hiduplah seorang tua yang bijak. Pada suatu pagi, datanglah seorang anak muda yang sedang dirundung banyak masalah. Langkahnya gontai dan raut mukanya ruwet. Tamu itu memang tampak seperti orang yang tidak berbahagia.

Tanpa membuang waktu orang itu menceritakan semua masalahnya. Pak Tua yang bijak itu hanya mendengarkan dengan seksama. Ia lalu mengambil segenggam garam dan meminta tamu itu untuk mengambil segelas air. Ditaburkannya garam itu kedalam gelas, lalu diaduknya perlahan. “Coba minum ini dan katakana bagaimana rasanya”, ujar Pak Tua itu.

“Pahit.., pahit sekali rasanya…”, jawab tamu itu sambil meludah kesamping.

Pak Tua sedikit tersenyum. Lalu ia mengajak tamunya berjalan ke tepi telaga didalam hutan didekat tempat tinggalnya. Kedua orang itu berjalan berdampingan dan akhirnya sampailah mereka ketepi telaga yang tenang itu.

Pak Tua itu kembali menaburkan segenggam garam ke dalam telaga. Dengan sepotong kayu dibuatnya gelombang-gelombang dari adukan-adukan itu yang menciptakan riak-riak air. “Coba ambil air dari telaga ini dan minumlah”, perintah Pak Tua. Saat tamu itu selesai meneguk air itu, Pak Tua kembali bertanya, “Bagaimana rasanya?”

“Segar”, sahut tamunya. “Apakah kamu merasakan garam didalam air itu?”, Tanya Pak Tua lagi. “Tidak”, jawab si anak muda.

Dengan kebapakan Pak Tua menepuk-nepuk punggung anak muda itu. Ia lalu mengajaknya duduk berhadapan, bersimpuh disamping telaga itu. “Anak muda, dengarlah. Pahitnya kehidupan itu adalah layaknya segenggam garam, tidak lebih dan tidak kurang. Jumlah dan rasa pahit itu adalah sama. Dan memang akan tetap selalu sama.”

“Tapi, kepahitan yang kita rasakan akan sangat tergantung dari wadah yang kita miliki. Kepahitan itu akan didasarkan dari perasaan tempat kita meletakkan segalanya. Itu semua akan tergantung pada hati kita. Jadi saat kamu merasakan kepahitan dan kegagalan dalam hidup, hanya ada satu hal yang bisa kamu lakukan. Lapangkanlah dadamu menerima semuanya. Luaskanlah hatimu untuk menampung setiap kepahitan itu.”

Pak Tua itu kembali memberi nasehat, “Hatimu, adalah wadah itu. Perasaanmu adalah tempat itu. Kalbumu, adalah tempat kamu menampung sgalanya. Jadi, jangan jadikan hatimu itu seperti gelas. Buatlah laksana telaga yang mampu meredam setiap kepahitan dan merubahnya menjadi kesegaran dan kebahagiaan.”

Keduanya lalu beranjak pulang. Mereka sama-sama belajar hari itu. Dan Pak Tua, ‘sang orang bijak’, kembali menyimpan ‘segenggam garam’ untuk anak muda lain yang sering datang kepadanya membawa keresahan jiwa…

Aljabar linear

                                                             KATA PENGANTAR

            Alhamdulillah, hanya kepada Allah kami bersyukur karena atas limpahan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul SUB RUANG dan kepada pembaca atau teman-teman mahasiswa, penulis harapkan semoga makalah ini dapat membantu memberikan pemahaman awal, menuju ke pemahaman yang lebih baik.

            Tak lupa penulis ucapkan banyak terimah kasih kepada Ibu Dosen, yang telah banyak memberikan  motivasi positif kepada kami sehingga dengan keterbatasan pemahaman dan reverensi penulis masih dapat menyusun makalah ini.

            penulis menyadari makalah yang penulis susun ini masih jauh dari yang ibu harapkan, Insya Allah di masa yang akan datang akan jauh lebih baik dari yang ini, sehingga segala macam masukan dan kritikan sangat diharapkan demi kesempurnaan di masa yang akan datang.

            Semoga dapat memberikan manfaat walaupun sedikit, dan semoga Allah SWT melimpahkan kasih sayang-Nya kepada kita semua. Amin

                                                                                                Ternate, 04 Juni 2012

BAB I

PENDAHULUAN

            Himpunan bagian yang tidak konsong dari suatu ruang vector mungkin merupakan ruang vector, mungkin juga bukan ruang vector. Himpunan bagian yang merupkan ruang vector dijelaskan bahwa.

            Misalkan W merupakan ruang bagian dari vector V, maka semua aksioma ruang vector di penuhi oleh W. khusus aksioma 1 dan 6 yaitu :

1.      untuk setiap u, v,  dalam V, u + v  dalam V.

6.   untuk setiap skalar k dan setiap u dalam V, ku dalam V.

Jadi untuk setiap u, v dalam W, u + v dalam W, dan untuk setiap skalar k dan untuk setiap u dalam W, ku dalam W. ini berarti aksioma 1 dan 6 dipenuhi oleh W. selanjutnya W juga memenuhi 8 aksioma lainnya. Aksioma 2, 3, 7, 8, 9, dan 10 jelas di penuhi oleh W, Karena vektor-vektor dalam W terletak dalam V.

Ambil sembarang  u dalam W, k = 0 dan k = 1, maka 0.u = 0 dalam W dan -1.u = -u dalam W. jadi W adalah ruang bagian dari ruang vector V.

PEMBAHASAN

A.    Subruang

Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan sub ruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.  

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah sub ruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku

1)      Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W

2)      Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, ku berada di W

Kondisi-kondisi (1) dan (2) sering kita jelaskan dengan menyatakan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan tertutup di bawah perkalian skalar. Bukti jika W adalah subruang dari V, maka semua aksioma ruang vektor dipenuhi; khususnya Aksioma 1 dan Aksioma 6 berlaku. Tetapi dalam hal ini persis merupakan kondisi (1) dan kondisi (2).

                  U+V      W                                                                        W

   U        V                                                                         U     KU                            

                                                                                                                                                                                                                                                                                 

a.       W tertutup terhadap penjumlahan    

b.      W tertutup terhadap perkalian skalar                                                                                        

Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua subruang. V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0} yang terdiri dari  vektor nol saja pada V yang merupakan sebuah subruang yang kitanamakan subruang nol (zero subspace).

Contoh :

Misalkan W sebarang bidang yang melalui titik asal dan misalkan u serta V sebarang vektor pada W. maka u + v harus terletak pada W karena u + v adalah diagonal jajaran genjang yang ditentukan oleh u dan v (gambar 1) dan k u harus terletak pada W untuk sebarang skalar k karena ku terletak pada garis yang melalui u. jadi W adalah subruang dari R³.

               U……V+U        

 

Contoh

Perlihatkan bahwa himpunan W dari semua matriks 2 x 2 yang mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya adalah subruang dari ruang vektor M₂₂ dari semua matriks 2 x 2

Pemecahan.

Adalah seberang dua matriks pada W dan K adalah sebarang skalar. Maka

Oleh karena kA dan A + B mempunyai bilangan nol pada diagonal utama, maka kA dan A + B terletak pada W. Jadi, W  adalah subruang dari M₂₂.

Contoh

Vektor-vektor i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) W himpunan semua vektor berada (a,1,1) merentang R³ karena setiap vektor (a, b, c) pada R³ dapat kita tuliskan sebagai :

(a, b, c) = ai + bj + ck

Teorema jika v1, v2, ……….vr adalah vektor–vektor pada ruang vektor V, maka:

(1)      Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2, …….vr adalah subruang V

(2)      W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2, …….vr, adalah arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2,…….,vr harus mengandung W

Kombinasi linear vi, v2, ……..vr, maka kita dapatkan subruang V. subruang tersebut kita namakan ruang linear terentang oleh {v1, v2, …….vr}, atau dengan lebih sederhana kita namakan ruang terentang oleh {v1, v2,…….vr}

Bukti

(a)       Untuk memperlihatkan bahwa W adalah subruang V, kita harus membuktikan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan perkalian skalar. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka

u = c₁v₁ + c₂v₂ + …………… + c_rv_r

dimana c1, c2, …….cr, k1, k2,…………kr adalah skalar. Maka,

u + v  = (c₁k₁)v₁ + (c₂ + k₂)v₂ + …………… + (c_r+k_r)v_r

dan, untuk sebarang skalar k,

ku = (kc₁) v₁ + (kc₂) v₂ + ………..+ (kc_r) v_r 

jadi u + v dan ku adalah kombinasi-kombinasi linear v₁,  v₂, ……… v_r, dan sebagai konsekuensinya maka u + v dan ku terletak di W sehingga W tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar.

(b)      Setiap vektor vi adalah kombinasi-kombinasi v1, v2, ……..vr, karenanya dapat kita tulis

vi = 0v₁+0v₂ + ………..+ 1v_i + …………..0v_r 

oleh karena itu, subruang w mengandung setiap vektor v1, v2, …….vr misalkan W¹ adalah sebarang subruang lain yang mengandung v1, v2, …….vr. karena W^-1 tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar, maka W^-1 harus mengundang semua kombinasi linear.

c₁v₁  + c₂v₂  dari v₁,v₂……,v_r

jadi, W¹ mengandung setiap vektor W.

c.          U = (a,1,1)                  KU = K (a,1,1)      bukan sub ruang

V = (a₂,1,1)                        = Ka,K,K   

BAB II

PENUTUP

A.    KESIMPULAN

•      Sub ruang vektor adalah sebenarnya ruang vektor juga, namun dengan syarat-syarat khusus

•      Jika W adalah sekumpulan dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W disebut sebagai sub ruang V, jika dan hanya jika kedua kondisi di bawah ini berlaku :

1. Jika u dan v adalah vektor di W maka u+v juga ada di W
2. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang vektor di W, maka ku juga ada di W

B.     SARAN

Dari makalah yang penulis susun ini masih jauh dari apa yang diharapkan, oleh karenanya segala bentuk masukan dan kritikan yang sifatnya membangun akan penulis jadikan sebagai satu pembelajaran di masa yang akan datang.

strategi belajar mengajar

STRATEGI BELAJA MENGAJAR

1.      Perbedaan antara pembelajaran kooperatif dan pembelajaran konvensioanal yaitu :

Pembelajaran kooperatif adalah pendekatan pembelajaran yang berfokus pada penggunaan kelompok kecil siswa untuk bekerja sama dalam memaksimalkan kondisi belajar untuk mencapai tujuan belajar. Sedangkan pembelajaran kovensional adalah pembelajaran dimana guru adalah sumber informasi dari proses pembelajaran dan siswa hanya terlibat pasif.

a.       pembelajaran Kooperatif mempunyai sifat:

1.      Adanya saling ketergantungan positif, saling membantu, dan saling memberikan motivasi sehingga ada interaksi promotif.

2.      Adanya akuntabilitas individual yang mengukur penguasaan materi pelajaran tiap anggota kelompok, dan kelompok diberi umpan balik tentang hasil belajar para anggotanya sehingga dapat saling mengetahui siapa yang memerlukan bantuan dan siapa yang dapat memberikan bantuan

3.      Kelompok belajar heterogen, baik dalam kemampuan akademik, jenis kelamin, ras, etnik, dan sebagainya sehingga dapat saling mengetahui siapa yang memerlukan bantuan dan siapa yang memberikan bantuan

4.      Pimpinan kelompok dipilih secara demokratis atau bergilir untuk memberikan pengalaman memimpin bagi para anggota kelompok

5.      Keterampilan sosial yang diperlukan dalam kerja gotong-royong seperti kepemimpinan, kemampuan berkomunikasi, mempercayai orang lain, dan mengelola konflik secara langsung diajarkan

6.      Pada saat belajar kooperatif sedang berlangsung guru terus melakukan pemantauan melalui observasi dan melakukan intervensi jika terjadi masalah dalam kerja sama antar anggota kelompok.

7.      Guru memperhatikan secara proses kelompok yang terjadi dalam kelompok-kelompok belajar.

8.      Penekanan tidak hanya pada penyelesaian tugas tetapi juga hubungan interpersonal (hubungan antar pribadi yang saling menghargai)

b.      Sedangkan pada pembelajaran Konvensional mempunyai sifat:

1.      Guru sering membiarkan adanya siswa yang mendominasi kelompok atau menggantungkan diri pada kelompok

2.      Akuntabilitas individual sering diabaikan sehingga tugas-tugas sering diborong oleh salah seorang anggota kelompok sedangkan anggota kelompok lainnya hanya “mendompleng” keberhasilan “pemborong”.

3.      Kelompok belajar biasanya homogen.

4.      Pemimpin kelompok sering ditentukan oleh guru atau kelompok dibiarkan untuk memilih pemimpinnya dengan cara masing-masing.

5.      Keterampilan sosial sering tidak secara langsung diajarkan.

6.      Pemantauan melalui onservasi dan intervensi sering tidak dilakukan oleh guru pada saat belajar kelompok sedang berlangsung.

7.      Guru sering tidak memperhatikan proses kelompok yang terjadi dalam kelompok-kelompok belajar

8.      Penekanan sering hanya pada penyelesaian tugas.

Ø  Kelemahan dan keunggulan Pembelajaran Kooperatif  yaitu :

a.       Kelemahan

·         Membutuhkan waktu yang lama.

·         Siswa cenderung tidak mau apabila disatukan dengan temannya yang kurang pandai apabila ia sendiri yang pandai dan yang kurang pandaipun merasa minder apabila digabungkan dengan temannya yang pandai walaupun lama kelamaan perasaan itu akan hilang dengan sendirinya.

b.      keunggulan

·         Dapat memberikan kesempatan kepada siswa untuk bekerjasama dengan siswa lain.

·         Siswa dapat menguasai pelajaran yang disampaikan.

·         Setiap anggota siswa berhak menjadi ahli dalam kelompoknya.

·         Dalam proses belajar mengajar siswa saling ketergantungan positif .

·         Setiap siswa dapat saling mengisi satu sama lain

Ø  Kelemahan dan keunggulan Pembelajaran Kooperatif  yaitu :

a.       Kelemahan

Materi yang dapat dikuasai siswa sebagai hasil dari ceramah akan terbatas pada apa yang dikuasai guru. Ceramah yang tidak disertai dengan peragaan dapat mengakibatkan terjadinya verbalisme. Guru yang kurang memiliki kemampuan bertutur yang baik, ceramah sering dianggap sebagai metode yang membosankan.

Melalui ceramah, sangat sulit untuk mengetahui apakah seluruh siswa sudah mengerti apa yang dijelaskan atau belum.

b.      Keunggulan

-          Meningkatkan kepekaan dan kesetiakawanan sosial

-          Memungkinkan para siswa saling belajar mengenal sikap, ketrampilan, informasi, perilaku sosial, dan pandangan-pandangan

-          Memudahkan siswa melakukan penyesuaian sosial

-          Menghilangkan sifat mementingkan diri sendiri/egois

-          Meningkatkan rasa saling percaya kerpada sesama manusia

2.      Perbedaan antara Pembelajaran Matematik Realistik dan Kontekstual teaching and learnig yaitu :

Pembelajaran Matematik Realistik (PMR) adalah suatu teori pembelajaran yang telah dikembangkan khusus untuk meningkatkan pemahaman siswa tentang matematika dan mengembangkan daya nalar. Contohnya yaitu : masalah konteks yang berkaitan dengan masyarakat. Dimana situasi yang berkaitan dengan masyarakat sekitar yaitu dimana siswa itu tinggal. Sebagai contoh jeruk dijual dipasar buah dapat digunakan untuk memulai pembelajaran lingkaran atau bangun ruang.

Sedangkan Kontekstual teaching and learnig ( CTL ) merupakan suatu proses pembelajaran yang bertujuan untuk membantu siswa memahami materi pelajaran yang sedang mereka pelajari dengan menghubungkan pokok materi pelajaran dengan penerapannya dalamkehidupan sehari-hari. Contohnya yaitu : dalam mempelajari al-jabar siawa dapat mengaitkan jenis-jenis buah-buahan di pasar buah dengan menyatakan variable linear.

3.      Tiga jenis metode yang terbaik yaitu :

a.       Model Pembelajaran Kontekstual (CTL) adalah konsep pembelajaran yang mendorong guru untuk menghubungkan antara materi yang diajarkan dan situasi dunia nyata siswa. Dan juga mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dan penerapannya dalam kehidupan mereka sehari-hari.

Langkah-langkahnya yaitu :

-          Memilih tema

-          Menentukan konsep-konsep yang dipelajari

-          Menentukan kegiatan –kegiatan untuk investigasi konsep-konsep terdaftar

-          Menentukan mata pelajaran terkait(dalam bentuk diagram)

-          Mereviu kegiatan-kegiatan & mata pelajaran yang terkait

-          Menentukan urutan kegiatan

-          Menyiapkan tindak lanjut

b.      Metode Pembelajaraan Kooperatif adalah pendekatan pembelajaran yang berfokus pada penggunaan kelompok kecil siswa untuk bekerja sama dalam memaksimalkan kondisi belajar untuk mencapai tujuan belajar.

Langkah-langkahnya yaitu :

-          Siswa dibagi menjadi kelompok-kelompok.

-          Tiap anggota menggunakan lembar kerja akademik kemudian saling membantu untuk menguasai bahan ajar melalui tanya jawab atau diskusi antar anggota tim.

-          Tiap minggu atau 2 minggu guru mengevaluasi untuk mengetahui penguasaan materi yang telah diberikan.

-          Tiap siswa dan tiap tim diberi skor atas penguasaannya terhadap materi, yang meraih prestasi tinggi diberi penghargaan.

c.       Pembelajaran Matematik Realistik yaitu proses pembelajaran dengan pemanfaatan realitas dan lingkungan yang dipahami peserta didik untuk memperlancar proses pembelajaran matematika.

Langkah-langkahnya yaitu :

-          Memotivasi siswa.

-          Mengkomunikasikan tujuan pembelajaran.

-          Memulai pelajaran dengan mangajukan soal/pertanyaan.

-          Soal yang diberikan tentu harus diarahkan sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai dalam pelajaran tersebut.

-          Siswa mengenbangkan atau menciptakan model-model simbolik secara informal terhadap persoalan/soal yang diajukan.

-          Pengajaran berlangsung secara interaktif.

4.      Tiga kemampuan dasar Matematik yaitu :

Ø  Kemampuan komunikasi Matematik yaitu sebagai suatu kemampuan siswa dalam menyampaikan sesuatu yang diketahuinya melalui peristiwa dialog yang terjadi dilingkungan kelas, dimana terjadi pengalihan pesan. Pesan yang dialihkan berisi tentang materi matematik yang di pelajari. Misalanya berupa konsep,rumus atau strategi penyelesaian suatu masalah.

Indikatornya :

·         Kemampuan mengekspresikan ide-ide matematik melalui lisan, tertulis dan mendemonstasikannya serta menggambarkannya secara visual.

·         Kemampuan memahami, menginterpretasikan, dan mengevaluasiide-ide matematik baik secara lisan maupun dalam bentuk visual lainnya.

·         Kemampauan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematik dan struktur-strukturnya untuk menyajikan ide, menggambarkan –hubunga-hubungan dan model-model situasi.

Ø  Kemampuan pemahaman matematik adalah salah satu tujuan penting dalam pembelajaran, memberikan pengertian bahwa materi-materi yang diajarkan kepada siswa bukan hanya sebagai hafalan, namun lebih dari itu dengan pemahaman siswa dapat lebih mengerti akan konsep materi pelajaran itu sendiri.

Indikatirnya yaitu :

·         Mendefenisikan konsep secara verbal dan tulisan.

·         Mengidenfikasi dan membuat contoh dan bukan contoh.

·         Menggunakan model, diagram dan simbol-simbol untuk mempresentasikan suatu konsep

·         Mengubah suatu bentuk representasi ke bentuk lainnya.

·         Mengenal berbagai makna dan interpretasi konsep.

·         Mengidentifikasi sifat-sifat suatu konsep dan mengenal syarat yang menentukan suatu konsep.

·         Membandingkan dan membedakan konsep-konsep

Ø   Kemampuan penalaran matematik merupakan salah satu kompetensi dasar matematik disamping pemahaman, komunikasi dan pemecahan masalah. Penalaran juga merupakan proses mental dalam mengembangkan pikiran dari beberapa fakta atau prinsip. Penalaran adalah proses berfikir yang dilakukan dengan satu cara untuk menarik kesimpulan.

Indikatornya yaitu :

·         Penalaran umum yang berhubungan dengan kemampuan untuk menentukan penyelesaian atau pemecahan masalah.

·         Kemampuan yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan dan yang berhungan dengan kemampuan menilai implikasi dari suatu argumentasi.

·         Kemampuan untuk melihat hubungan-hubungan, tidak hanya hubungan antara benda-benda tetapi juga antara ide-ide dan kemudian mempergunakan hubungan itu untuk memperoleh benda-benda atau ide-ide lain.

5.      Lesson Study adalah terjemahan dari bahasa Jepang jugyou (instruction =pengajaran, atau lesson = pembelajaran) dan kenkyuu (research = penelitian atau study = kajian). Lesson Study merupakan salah satu upaya untuk meningkatkan proses dan hasil pembelajaran yang dilaksanakan secara kolaboratif dan berkelanjutan oleh sekelompok guru.

Tujuan utama Lesson Study yaitu untuk :

(1)    memperoleh pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana siswa belajar dan guru mengajar;

(2)    memperoleh hasil-hasil tertentu yang bermanfaat bagi para guru lainnya dalam melaksanakan pembelajaran;

(3)    meningkatkan pembelajaran secara sistematis melalui inkuiri kolaboratif.

(4)    membangun sebuah pengetahuan pedagogis, dimana seorang guru dapat menimba pengetahuan dari guru lainnya.

Manfaat yang yang dapat diambil Lesson Study, diantaranya:

(1)   guru dapat mendokumentasikan kemajuan kerjanya,

(2)   guru dapat memperoleh umpan balik dari anggota lainnya, dan

(3)   guru dapat mempublikasikan dan mendiseminasikan hasil akhir dari Lesson Study.

Lesson Study dapat dilakukan melalui dua tipe yaitu berbasis sekolah dan berbasis MGMP. Lesson Study dilakukan berdasarkan tahapan-tahapan secara siklik, yang terdiri dari: perencanaan (plan); pelaksanaan (do); refleksi (check); dan tindak lanjut (act).

Dan sangat cocok di terapkan dalam pembelajaran matematik.